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Reto lúdico: La espiral de Ulam

La espiral de Ulam es un representación gráfica de los números primos. Encontrada casi por una casualidad por el matemático Ulam, se ha convertido en un interesante criterio que podría llevar a saber más de los números primos.

Las matemáticas son de verdad fascinantes. Hay conjeturas no demostradas, como el caso de los números de Collatz (o maravillosos), o bien, suposiciones que eventualmente se “demostraron” a fuerza bruta, enumerando todos los posibles casos, como en el famoso teorema de los cuatro colores. Pues bien, aquí hablaremos de la llamada “espiral de Ulam” y dejaremos un reto lúdico con su respectivo premio.

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La espiral de Ulam fue descrita por el matemático Stanislaw Marcim Ulam, que a todo esto, tiene un libro autobiográfico fantástico (Aventuras de un matemático), que vale la pena leer. Dicha espiral es básicamente una representación gráfica de los números primos, los cuales aparentemente muestran un patrón, cosa que es de llamar la atención.

No se conoce fórmula alguna para saber si un número es primo y por siglos los matemáticos han tratado de encontrar algún patrón para poderlos identificar. Ulam, en 1963, aburrido en una conferencia científica, hacía garabatos en una hoja de papel y dispuso una malla de números en espiral, empezando por poner el 1 en el centro, el 2 a su derecha, el 3 arriba, el 4 encima del 1, el 5 a la izquierda, y así sucesivamente. Posteriormente, marcó los números primos y descubrió -para su sorpresa- que los números marcados tendían a alinearse a lo largo de líneas diagonales.

Todos los números primos, a excepción del 2, son impares. Como en la espiral de Ulam algunas diagonales contienen números impares y otras contienen números pares, no sorprende ver cómo los números primos caen todos (salvo el 2) en diagonales alternas. Sin embargo, entre las diagonales que contienen números impares, unas contienen una proporción visiblemente mayor que otras de números primos. Aún extendiendo mucho la espiral, se siguen mostrando esas diagonales. El patrón se muestra igualmente aunque el número central no sea 1 (en efecto, puede ser mucho mayor que 1). Esto significa que hay muchas constantes enteras b y c tales que la función

f(n) = 4n^2 + bn + c

genera, a medida que crece n a lo largo de los naturales {1, 2, 3, …}, una gran cantidad de números primos en comparación con la proporción de primos existente en números de magnitud similar. Este hallazgo fue tan célebre que la espiral de Ulam apareció en la portada de la revista Scientific American en marzo de 1964 (Gardner, M. (March 1964), «Mathematical Recreations: The Remarkable Lore of the Prime Number», Scientific American 210: 120-128).

Hay uien piensa que este descubrimiento muestra el ordenamiento de la Naturaleza o cualquier otra situación de posibilidades esotéricas, pero más allá de estas especulaciones, la idea de la espiral de Ulam da pie al siguiente reto lúdico: genérese gráficamente dicha espiral considerando la mayor cantidad de números posibles. Así, aquí habrá dos criterios fundamentales para decidir al ganador: el primero es la representación gráfica. Si ésta es en 3D, con colores, añadiendo atractivo al resultado final, lo cual da puntos extras. El segundo criterio es cuántos números abarca la gráfica. Mientras más números mejor.

Al ganador (si es de la Ciudad de México), se hará acreedor a una taza con el logotipo de la Morsa. Si es de otro país o de provincia, le mandaré un USB de al menos 8 GB. La razón de esto es que mandar una taza por mensajería es estúpidamente caro.

Las soluciones me las pueden mandar a [email protected]

Cabe señalar que este concurso busca simplemente alentar el trabajo de la programación y mostrar que puede ser lúdica. Es un concurso de buena fe. Si hay, por ejemplo, dos o más respuestas en donde los dos criterios empaten, ganará quien la haya mandado primero. El ganador cede su código fuente a la comunidad. Es decir, se promueve el código abierto.

En este caso no hay restricción en qué lenguaje usar. El concursante tiene que mandar su código fuente, el ejecutable (si aplica) y los resultados obtenidos. El concurso tendrá una vigencia de unas dos semanas, aproximadamente.

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